Håkan Lennerstads forskning

Välkommen till min forskningshemsida! Here is it in English.

Jag är Håkan Lennerstad, professor i matematik vid BTH. Min bakgrund är civilingenjör i teknisk fysik och teknologie doktor i matematik, båda vid Chalmers Tekniska Högskola i Göteborg. Jag har varit vid BTH sedan 1992.

Rapporterna kan hämtas i BTH:s forskningsdatabas: www.bth.se/fou . Om inte, skicka mig ett mail så lägger jag till en länk.

Forskningen kan beskrivas som följande projekt. I parentes: (antal rapporter och år för senaste publicering).

1. 1. Jämförelse av prestanda för multiprocessor alternativ (15, 2014)
2. 2. Multiprocessorers kraschtolerans (6, 2012)
3. 3. Schedulerbarhetskriterier för multiprocessor servrar (4, 2015)
4. 4. Preemption beroende multiprocessor prestanda (2, 2008)
5. 5. Talteori (3, 2017)
6. 6. Kodteori (6, 2014)
7. 7. Partiella differentialekvationer (3, 1992)
8. 8. Matematikdidaktik (22, 2013)
9. 9. Yrkeskunnande och teknologi (4, 2014)
10. 10. Kvantfysik (1, 2017)
11. 11. Grafteori (2,2017)

Om en eller flera datorer i ett datorkluster kraschar måste motsvarande processer flyttas till andra datorer. Detta kan göras med maximal lastbalansering genom att använda en så kallad Golumb ruler som reallokeringsprincip. Golumb rulers har också visat sig vara framgångsrika för hashminnen.

Matematiskt innehåll
Det kombinatoriska begreppet Golumb rulers är centralt för denna typ av problem.

Valda rapporter med kommentarer
I en rapport uppfann vi en variant av Golumb ruler, en ”modulo ruler”, som ger en ännu tätare packning av tal.

Using modulo rulers for optimal recovery schemes in fault tolerant distributed computing, med Lars Lundberg, Kamilla Klonowska, Charlie Svahnberg, Proceedings of the 10th International Symposium PRDC 2004, Papeete, Tahiti, pp. 133-142, 2004.

Följande rapport gäller hash tabeller snarare än lastbalansering.
Using Optimal Golomb Rulers for Minimizing Collisions in Closed Hashing, med Lars Lundberg, Kamilla Klonowska, Göran Gustafsson, ASIAN 2004: 157-168.

Om vi väljer allokering så att en datorkrasch aldrig förlänger sluttiden med mer än r % , hur mycket kostar denna försiktighetsåtgärd för sluttiden vid utebliven krasch, som en funktion av r?
Optimal Computer Crasch Performance Precaution, med E. Laksman, L. Lundberg, Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science, Vol 14, No 1, 2012.

Detta projekt handlar om parallella program med oberoende processer. En s.k. preemption kan ge förbättrade prestanda genom att tillfälligt avbryta exekveringen av en process och återta den vid ett senare tillfälle, eventuellt på en annan processor. Om den optimala körtiden för ett parallellt program P på en multiprocessor med två processorer och i preemptions betecknas med Ti( P ), så säger den kända ”4/3 – förmodan” att T0(P)/T1(P) ≤ 4/3 för alla program P, som alltså optimalt jämför en preemption med noll preemptions. Denna hypotes avgjordes av Coffman och Garey (Journal of the ACM, Vol. 40, No. 5, November 1993, pp. 991-1018).
Detta papper utvidgar detta resultat till n processorer, och jämför i preemptions med j preemptions för godtyckliga heltal n, i och j.

Matematiskt innehåll
Återigen består det största problemet av att karaktärisera extremala parallella program. I detta fall är Stern- Brocots träd nödvändigt för det slutliga resultatet. Detta projekt ledde vidare till nästa, Projekt 5, som är rent matematiskt (dvs generellt, inte särskilt knutet till datalogi).

The Maximum Gain of Increasing the Number of Preemptions in Multiprocessor Scheduling, med Lars Lundberg and Kamilla Klonowska, Acta Inf., 46(4): 285-295, 2009.

Denna forskning startade 1997 som ett samarbete med Magnus Nilsson, docent vid Linnéuniversitet. Efraim Laksman anslöt senare. Minimala Euklidiska avståndet är en grundläggande storhet för felkorrigeringsförmågan hos en blockkod med fasskiftsmodulering. I denna forskning härleder vi övre gränser för minimala Euklidiska avståndet som en explicit funktion av tre parametrar: alfabetstorlek, ordlängd och antalet kodord. Gränserna är optimala för många parametervärden. Tidigare var enbart gränser som är asymptotiska i någon av parametrarna kända. Gränserna härleds genom ett så kallat inre avståndsmått, som finjusteras för att optimera det minsta Euklidiska avståndet.

Valda rapporter med kommentarer
Det första pappret innehåller ett specifikt inre avståndsmått, som ger förbättrade gränser än de tidigare kända.
An upper bound on the minimum Euclidean distance for block coded phase shift key­ing, med Magnus Nilsson, IEEE Trans. of Inf. Th., 46(2),: 656-662 2000.

Detta papper beskriver ett generellt inre avståndsmått vars parametrar finjusteras för att ge bäst tänkbar gräns, dock endast för ordlängd = 8.
Improving Bounds of the Minimal Euclidean Distance for Block Codes by Inner Metric Optimization, med Magnus Nilsson och Efraim Laksman, Jou. of Disc. Math., Vol 310(22), 3267-3275, 2010.

I nedanstående papper generaliseras med avseende på ordlängd, till assymetriska koder, och med annat brus än Gaussiskt.
Generalized Upper Bounds on the Minimum Distance of PSK Block Codes, med E. Laksman, M. Nilsson, IMA Jou. Maths. Control & Info, Jan. 20, 2014.

Detta projekt består inte endast av forskning, eftersom gränsen mellan forskning/inte forskning är i högsta grad flytande i detta område. Därför finns även olika aktiviteter med. Det består av några olika spår, vars gemensamma nämnare är att göra matematiska idéer tillgängliga och samtalsbara för elever. Dvs spår 1. De andra spåren stöder det.

Spår 1. Matematiska dialoger elever kan delta i
Spår 2. Matematiska – matematikens formelspråk
Spår 3. Matematikkartor
Spår 4. Logiska grafer
Spår 5. Matematikens periodiska system
Spår 6. Läroböcker
Spår 7: Utredningsuppdrag

Spår 1. Matematiska dialoger elever kan delta i

Den första av de följande två böckerna, skrivna med specialpedagogen Ann-Louise Ljungblad, tar upp många aspekter på matematiska elevdialoger, som makt och matematik, elevers mångfald, matematikens kultur, matematikens speciella egenskaper, formelspråk och naturligt språk, elever med fallenhet för matematik, lärares och elevers matematiksvårigheter, lyssnandets komplexitet, och även poesi och matematik.
Tvillingboken tar upp mindre kända exempel på praktik och tillämpningar av olika slag som stödjer idén om matematikdialog som elever kan delta i.
Vi definierar respekt som att bli lyssnad på. På riktigt.

Böcker
Matematik och respekt – matematikens mångfald och lyssnandets konst, med A-L Ljungblad, Liber Förlag, 2014.
Matematik och respekt – i praktiken, med A-L Ljungblad, Liber Förlag, 2014.

Valda rapporter med kommentarer
I den förstnämnda rapporten nedan beskrivs ett projekt där en läroboksförfattare fortlöpande tog emot och hanterade kommentarer om boken från studenterna, vilket på detta sätt utvecklade boken. En evolverande lärobok i matematik.
An Evolutionary Text Book – Evolving by Student Activity, Jou. of On-line Math. vol. 7, 2007.
Completing Mathematics by Student and Teacher Reflection, proceedings of MADIF5, Stockholm, Sweden, 2006.
Dialogues as a tool for decoding mathematics, SEFI Seminar, Köpenhamn, 2001.
On the irrational component in mathematics learning, Proceedings från 8th SEFI Sem­inar, Prag 1995.

Opposition vid licentiatavhandling
Nedanstående avhandling använder Learning Study. När variationsteori är grunden så är det ett arbetssätt som befrämjar dialog eftersom man ju ska jämföra olika synsätt på samma begrepp, vilka alltså måste formuleras av eleverna.

Hur kan dubbelt så långt bli fyra gånger större?, Jenny Svantesson Wester, Inst. för didaktik och pedagogisk professor, Göteborgs Universitet, 2014.

Biträdande handledare till doktorsexamen
Lucian Olteanu: Framgångsrik kommunikation i matematikklassrummet, doktorsavhandling, Linnéuniversitetet, 2016.

Spår 2. Matematiska – matematikens formelspråk

Matematikens formelspråk är ganska annorlunda uppbyggt än svenska, och är för många elever en särskild svårighet som i viss mån är skild från förståelse för matematiska begrepp och samband. Jag menar att det är en svårighet som underskattas kraftigt, och som man skulle behöva engagera både språklig och språkfilosofisk expertis för att komma tillrätta med. Det är ett problem elever knappast kan se själva.
I den följande boken ger ett antal olika kompetenser perspektiv på problemet: en lingvist, två matematikdidaktiker, två filosofer och två matematiker.

Böcker
Matematikens språk, red., med Christer Bergsten, med artiklar av redaktörerna samt av Christer Kiselman, Östen Dahl, Madeleine Löwing, Bo Göranzon och Lars Mouwitz, Santérus Förlag, 2008.

Några artiklar
Matematik och matematiska – om språnget mellan betydelser och formler, i antologin Matematikens språk, red. Lennerstad och Bergsten, Santérus Förlag, 2008.
Matematikens språk – verb och substantiv, med Ann-Louise Ljungblad, Specialpedagogik, no 4, 2007.
Matematikens dubbelnatur – undflyende innehåll och självtillräckligt språk, i Utbildning och Demokrati no 1 2005, temanummer Matematik och Bildning.
Mathematish – a Tacit Knowledge of Mathematics, med Lars Mouwitz, proceedings of MADIF4, Malmö, Sweden, 2004.

Konferenser
Idéer och språk i matematikutbildningen, MAH, 2001.
Matematikens formelspråk en barriär eller kommunikationsmedel?, med Christer Bergsten, konferens med stöd av Sveriges matematikersamfund (SMS), Sveriges förening för matematikdidaktisk forskning (SMDF) och Sveriges matematiklärarförening (SMAL), KTH, 2005.

Debatter
Två debatter angående matematikens innehåll och språk, CTH och KTH, med Ulf Persson, professor i matematik, i medlemsblad för Sveriges förening för matematikdidaktisk forskning 2003.

Några föredrag
Översättningar matematiska/svenska kan leda in i matematiken, presentation vid Naturvetardagarna, Uppsala Universitet, 2003, och Matematikbiennalen, Malmö, 2004.
Matematiska och dialogseminarier, med Pi Högdahl, Martin Gode, Matematikbiennalen, Malmö, 2006.

Spår 3. Matematikkartor

Detta är en metod där elever lätt blir aktiva och diskuterar matematik. Det är motiveringen. Många klasser har provat.

Metoden använder sig av något alla elever är välbekanta med: vägar, landskap och geografiska kartor. Detta är konkret och sätts i relation till den abstrakta matematiken, som de ändå till en del är bekanta med genom alla matematiklektioner. När världarna möts slår det gnistor. Eleverna slår gnistor. Ibland förefaller det som en politisk diskussion runt borden.

Elever ombeds att i grupp utforma en geografisk karta som beskriver den matematik de känner till. Namn på floder, berg och byar ska alltså vara matematikord, eller siffror. Det blir debatt om hur kartan bör se ut, alltså om hur matematiken hänger ihop!
Guld värt för en matematiklärare att lyssna på samtalen.

Artiklar
Kapitel i Matematik och respekt – i praktiken, med A-L Ljungblad, Liber Förlag, 2014.
Mathematical maps – students working with geography as a global metaphor for mathematics, Proceedings of MADIF7, Stockholm, 2010.
Klass 9A:s matematikkarta, med Mia Selander, Nämnaren, no 2, 2004.
Matematikkartor, med Krister Larsson, Nämnaren no 3, 2003.

Några föredrag
En stillsam färd genom den matematiska analysens färgrika och varierande landskap, presentation vid Naturvetardagarna, University of Uppsala, 2004.
Matematikkartor – ett workshop, med Anna Svärd och Mia Selander, tre timmars presentation med workshop vid Matematikbiennalen, Malmö, 2006.

Spår 4. Logiska grafer

Logiska grafer – att kartlägga matematiska resonemang

Med en logisk graf kan ett resonemang (t.ex. ett bevis) beskrivas helt komplett men mera geometriskt. Det är då lättare att få en överblick över resonemanget. En läsare kan läsa ett bevis i den ordning man vill själv, man är mindre styrd av det narrativ som författaren valt. Den geometriska karaktären innebär också en öppning mot helklassdiskussion om matematik, eftersom man kan skriva upp ett argument som någon säger och så småningom fylla i pilarna som anger vad som följer från vad, allteftersom man blir överens om det.

Att detta är möjligt beror filosofiskt på skillnaden mellan tiden och ett resonemang. Medan tiden är linjär, från förflutet till framtid, är resonemang oftast inte linjära. Ty man behöver ofta gå fram och tillbaka mellan olika argument för att få fram alla samband. En föreläsare och en författare av en bok måste anpassa sig till tidens natur, men en författaren fastlägger då en speciell ordning som resonemanget ska läsas på.

Logiska grafer är ett presentationssätt av en argumentation som svarar mot argumentationens natur, vilket inte är tidens. Då kan läsaren genast läsa argumentationen i den ordning denne föredrar. En matematisk argumentation blir lättare att förstå sig på.

Artiklar
Logiska grafer – att kartlägga matematik, Normat, Hefte 3, 1996.
Logical graphs – how to map mathematics, Zentralblatt für Didaktik der Matematik (International Reviews on Mathematical Education) 96/3, 1996.

Spår 5. Matematikens periodiska system

Matematik från gymnasiet och vidare på högskola/universitet handlar mer och mer om matematikens funktioner, som t.ex. polynom och ex. Det är viktigt att känna till de vanligaste, hur de ser ut, och dess viktigaste egenskaper. Just detta sammanfattar matematikens periodiska system, som är en enda stor affisch, liksom de relationer som gäller mellan dem. Exempel på relationer mellan funktioner som finns med är derivata och invers funktion. Systemet består av information som alltid gäller, i likhet med kemins kända system. Och det är kunskap man i matematik använder sig av igen och igen.
Det periodiska systemet innehåller oerhört många matematiska fakta om funktioner på ett geometriskt sätt. Innehållet motsvarar kurser i analys och transformteori, så systemet kan vara ett stöd för de kurserna. Det hänger på två universitet i Paris just som stöd till studenter.

Artiklar
The periodic system of mathematics, the 15the SEFI MWG seminar and 8th Workshop GFC Mathematical Education of Engineers, Wismar, Germany, 20-23 June, 2010.
Kapitel i Matematik och respekt – i praktiken, med A-L Ljungblad, Liber Förlag, 2014.

Utställning
Ikonisk Matematik, Blekinge Museum, 4 okt – 7 nov 2008.

Hemsida
www.lennerstad.se

Spår 6. Läroböcker

Läroböcker
Följande bok har blivit uppskattad av studenter för sin läsbarhet. Den täcker serier, Fourierserier, Fouriertransformer, Laplacetransformer och z-transformer.
Serier och transformer, (244 pages), med Claes Jogréus, BTH, 1998, Studentlitteratur AB, Lund, Sweden.

För de två följande böckerna gäller att Liber-boken innehåller övningar (som tyvärr innehåller alltför många fel, det ska åtgärdas), vilket Kärret-boken inte gör. En del avsnitt i Kärret-boken finns inte med i Liber-boken, men finns i stället på en hemsida på liber.se.

Jag vågar påstå att böckerna har ett annorlunda matematikberättande, som ger ett sammanhang. En student skrev ”Hittade din bok på stadsbiblioteket i Örebro, tog hem den och slogs av häpnad! Jag önskar detta var den första bok jag fått i handen när jag skulle läsa ”analysen”… Tack för att du utan några konstigheter lyfter fram matematiken så vacker som den är!”

Böckerna innehåller bl.a. ett antal dialoger längst ner på sidorna, där olika personligheter ifrågasätter och debatterar vad som står. Alla kalkyler är kommenterade, i alla steg. Böckerna är kemiskt fria från uttrycket ”inses lätt”.

Envariabelanalys med dialoger, (754 pages), Kärret, 2002.
Envariabelanalys, idéer och kalkyler, (641 pages), Liber, 2005.

Spår 7. Utredningsuppdrag

Åtta projekt som fått medel för att utveckla matematikundervisningen med IKT-verktyg utvärderades i efterhand. Några av dem lyckades strålande. Men i flera fall hade utrusningen knappt använts, på grund av otillräcklig support eller för den utbildningen lärarna fick tycktes professionell men faktiskt inte höll måttet.
I flera fall var alltså skolledningarna teknikinriktade och otillräckligt kompetensinriktade.

Undertecknad deltog också i utvecklingen av algebramodulen i Skolverkets Matematiklyftet 2013.

Artiklar
Lession study och learning study samt IKT i matematikundervisningen, Skolverket Rapport 367, 2011.
Åtta IKT-projekt för matematiken i skolan – empiri och analys, med C. Olteanu, Report no 2012:02, Blekinge Tekniska Högskola.

Mattias Eriksson formulerade en frågeställning om den totala statistiska vikten för alla Rydbergnivåer för en jon i ett plasma. Denna statistiska vikt är totala antalet kvanttillstånd som är möjliga, vilket är en (fyrdubbel) summa över fyra olika kvanttal utöver huvudkvanttalet, obital- och vinkelrörelsemängdsmomenten L och S för grundtillstånden, vilka ingår i summan som parametrar. Det visade sig att det gick att summera summan över fyra kvanttal, och resultatet blev helt enkelt (2L + 1)(2S +1) gånger en faktor.

A new formula for the statistical weight for a sequence of Rydberg levels in an atom or ion, med Mattias Eriksson, Journal of Physics: Conf. Series 869 (2017):012010.

För att förstå trafikflöden i ett vägnät dyker fundamentala grafteoretiska problem upp. Med Henrik Fredriksson och Mattias Dahl har begreppet dependence mellan par av kanter formulerats – ett begrepp som visar hur flödena i olika kanter är beroende av varandra. Beroende på grafens topologi är det ganska annorlunda än hur nära två kanter är. Medan en andra rapport är under utarbetande är det första resultatet är inskickat till Networks:

A dependency framework for links in a network, med Henrik Fredriksson och Mattias Dahl, insänt till Networks.

En annan fråga är: hur man man numrera noderna i en graf som har n noder med heltal från 1 till n så att skillnaden mellan nodernas numrering stämmer så bra överens med avståndet mellan noderna som möjligt? Angränsande noder bör helst ha angränsande nummer – är det alltid möjligt? Här går det att leverera tydliga resultat.

List graphs and distance-consistent node labelings, skickad till Electronic Journal of Graph Theory and Applications.